Question

设定义在R上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1,且对任意x,y属于R,有f(x+y)=f(x)·f(y),f(1)=2.

(1)求f(0)的值
(2)求证:对于任何x属于R,都有f(x)>0.
(3)解不等式f(3-x的平方)>4.

Answer 1

解：(1)f(x+y)=f(x)·f(y)，f(1)=2 ，
f（1+1）=f（1）*f（1）=f（2）=4
f(1) =f(0+1)=f(0)*f(1)=2 ，所以f（0）=2/f（1）=1

(2)因为定义在R上的函数f(x),满足当x>0时,f(x)>1
所以当x < 0时, -x > 0, f（－x）＞1，
f(0)=f(-x + x) = f(－x）f（x）=1 ，所以有f（x）＞0
又因为f（0）=1＞0，即对于任何x属于R,都有f(x)>0.

(3)设x2>x1
f(x2)=f【x1+(x2-x1)】=f(x1)+f(x2-x1)
因为x2-x1>0，f(x2-x1)>1
所以 f(x2)>f(x1)
所以f(x)在R上单调递增，即转变为f(3-x的平方)>f（2）.
所以原不等式就变成3-x^2>2,解得：-1<x<1

有什么不明白的请追问，希望能帮到你，如果满意的话请采纳，O(∩_∩)O谢谢！

Answer 2

1. 令x=0 y=1 f(1)=f(0)*f(1) 所以f(0)=1
2. 令y=x=t/2
f(t)=f(t/2)*f(t/2)=[f(t/2)]^2 所以对任意t∈R，都有f(t)>0
所以
对于任何x属于R,都有f(x)>0.
3. 令x=y=1 所以f(2)=f(1)*f(1)=4
令y>0 f(y)>1
x+y>x
f(x+y)/f(x)=f(y)>1
所以f(x+y)>f(x)
所以f(x)在定义域内为增函数，
不等式f(3-x的平方)>4.变为
f(3-x^2)>f(2)
3-x^2>2
x^2<1
-1<x<1

Answer 3

解：（1）知f(x+y)=f(x)·f(y)
当x=1，y=0时，f（1+0）=f(1)·f(0)
∴2=2×f(0）
∴f(0）=1
（2）①当x>0时,f(x)>1>0
②当x=0时，f(0）=1>0
③当x<0时，-x>0，f(-x)>1>0
知f(x+y)=f(x)·f(y)
令y=-x
得：f(x-x)=f(x)·f(-x)=1
∴f(x)=1/f(-x)>0
由①②③综合可得：对于任何x属于R,都有f(x)>0
（3）当x>0时,f(x+1)=f(x)·f(1)=2f（x）>f（x）
f(x)是单调增加
同理：当x<0时，f(x)是单调增加
∴f(x)在定义域内单调增加
当x=y=1时，f（2）=f(1)·f(1)=2×2=4
解不等式f(3-x²)>f（2）
∴3-x²>2
化简整理得：x²<1
∴-1<x<1