Question

已知a+b+c=1,求证a²+b²+c²≥1/3

Answer 1

证明：由柯西不等式：(a1²+a2²+a3²)(b1²+b2²+b3²)≥(a1b1+a2b2+a3b3)²
设a1=a，a2=b，a3=c，b1=b2=b3=1，则有
(a²+b²+c²)(1²+1²+1²)≥(a+b+c)²
得
3(a²+b²+c²)≥(a+b+c)²
∵a+b+c=1，
∴3(a²+b²+c²)≥1
∴(a²+b²+c²)≥1/3
证毕

Answer 2

由a+b+c=1得到
(a+b+c)^2=1
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1
a^+b^2+c^2=1-2ab-2bc-2ac>=1-(a^2+b^2)-(b^2+c^2)-(a^2+c^2)
=1-2a^2-2b^2-2c^2
所以3(a^2+b^2+c^2)>=1
所以a^2+b^2+c^2≥1/3

追问

请问a^+b^2+c^2=1-2ab-2bc-2ac>=1-(a^2+b^2)-(b^2+c^2)-(a^2+c^2)
为什么是≥呢？这是一个公式吗？
为什么a²+b²=2a² b²+ c²=2b² a²+ c²=2c²呢

追答

2ab<=a^2+b^2
2bc<=b^2+c^2
2ac<=a^2+c^2
这就是完全平方公式

Answer 3

aaa