Question

已知椭圆C经过点M(1,3/2),两个焦点是F1(-1，0)和F2(1，0),

1）求椭圆C的方程（2）若A,B为椭圆C的左右顶点，P是椭圆C上异于A,B的动点，直线AP与椭圆在B点处的切线交于点D,当直线AP绕点A转动时，求证：以BD为直径的圆与直线PF2相切。

Answer 1

1. 设椭圆方程为X^2/a^2+Y^2/b^2=1

        由F1(-1，0)和F2(1，0)可知c^2=a^2-b^2=1,再将M点坐标带入椭圆方程可求得a^2=4 b^2=3

        椭圆方程为 X^2/4+Y^2/3=1

  2.   设直线AP方程为 y=k(x+2) (k不为0) 

        D点坐标（2，4K） B点（2,0） 设BD中点E（2,2K）

        联立椭圆与直线方程可得式子：（3+4K^2）X^2+16K^2X+16K^2-12=0

        A与P是直线和椭圆的交点，设P（X0，Y0）

        韦达定理X1*X2=12*X0=(16K^2-12)/（3+4K^2）

        X0=(8K^2-6)/(3+4K^2)   Y0=K(X0+2)=12K/(3+4K^2)

  （1）当k=正负0.5时 P（1，正负1.5） D(2，正负2)         直线PF2垂直于X轴 所以以BD为直径的圆与直线PF2相切

   （2）当K不等于正负0.5时 PF2斜率=Y0/X0-1=4K/(1-4K^2)

     PF方程：Y=4K/(1-4K^2)*（X-1） E到PF的距离d求出来等于2|K|（运用距离公式）

    BD=4|K| 所以d=0.5*|BD|   所以以BD为直径的圆与直线PF2相切。

 

打得我好累。。。