Question

已知：E是角AOB的平分线上一点，EC垂直OA，ED垂直OB，垂足分别为C、D.求证：（1）角ECD=角EDC；

（2）OE是CD的垂直平分线上

Answer 1

（1）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA于C，ED⊥OB于D，
∴DE=CE（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）
∴∠EDC=∠ECD

（2）∵∠EDC=∠ECD，∠ECO=∠EDO=90°，
∴∠3=∠4,
∴OC=OD，
∴点O在CD的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）
同理点E在CD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分CD

Answer 2

可以如下理解：
（1）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴CE=DE（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）
∴△CDE是等腰三角形
∴∠EDC=∠ECD（等腰三角形两底角相等）

（2）∵在△CEO与△DEO中，∠EOC=∠EOD，∠CDO=∠EDO = 90°，OE=OE（公共边）
∴△CEO≌△DEO（AAS）
∴CO=DO
∴点O在CD的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）
同理，点E在CD的垂直平分线上
∴OE是CD 的垂直平分线