Question

求y=sinx+2/sinx的值域

Answer 1

解令t=sinx，则由题知t属于[-1,0)∪(0,1]
则原函数变为y=t+2/t，t属于[-1,0)∪(0,1]
当t属于(0,1]时，y=t+2/t是减函数，则t=1时，y=1+2/1=3
当t趋近0时，y趋向正无穷大，
故t属于(0,1]时，y属于[3,正无穷大)
又由y=t+2/t，t属于[-1,0)∪(0,1]是奇函数
则原函数的值域为[3,正无穷大)∪(负无穷大，-3].

Answer 2

设t=sinx,则有-1<=t<=1

y=t+2/t,在（0，根号2]上是单调减的，在（-根号2，0）上也是单调减的。
故0<t<=1时，最小值是y=1+2/1=3
当-1<=t<0时，最大值是y=-1-2/1=-3
即值域是（-无穷，-3]U[3，+无穷）

追问

在（0，根号2]上是单调减的，在（-根号2，0）上也是单调减的。
这是怎么得到的

追答

如:y=x+a/x，（a>0)形式的函数，在区间（0，根号a) 上是减函数，在（根号a,+无穷）一是增函数。

Answer 3

y=sinx+2/sinx
sinx换为t,t范围为【-1,1】
从而题目变为
y=t+2/t,t∈【-1,1】
再根据图像可知
值域为（-∞，-3】，【3，+∞）