证明 b=([x]T[])^-1[x]TY,对任意矩阵x， b唯一 [x]为列满秩矩阵
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A^2 = (I-X(X^T X)^-1 X^T)(I-X(X^T X)^-1 X^T)
= I-2X(X^T X)^-1 X^T +[X(X^T X)^-1 X^T][X(X^T X)^-1 X^T]
= I-2X(X^T X)^-1 X^T +X(X^T X)^-1 (X^TX)(X^T X)^-1 X^T
= I-2X(X^T X)^-1 X^T +X(X^T X)^-1 X^T
= I-X(X^T X)^-1 X^T
= A.
所以 A 是幂等矩阵.
= I-2X(X^T X)^-1 X^T +[X(X^T X)^-1 X^T][X(X^T X)^-1 X^T]
= I-2X(X^T X)^-1 X^T +X(X^T X)^-1 (X^TX)(X^T X)^-1 X^T
= I-2X(X^T X)^-1 X^T +X(X^T X)^-1 X^T
= I-X(X^T X)^-1 X^T
= A.
所以 A 是幂等矩阵.
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