Question

弹簧振子的公式的推导过程

Answer 1

由简谐振动位移公式 x=Asinωt <1>
对时间t求一次导数: v=Aωcosωt
再对时间t求一次导数:a=-Aω^2sinωt=-ω^2x <2>
再考虑简谐振动的力的公式-kx=ma <3>
比较<1>、<2>、<3>三式（代入）
有-kAsinωt=-mAω^2sinωt
整理得ω^2=k/m
开方得ω=√(k/m)
则T=2π/ω=2π√(m/k) 把坐标原点选在弹簧原长处，x轴沿弹簧方向，由牛顿第二定律
其中F、a、i和 应该为向量，不过我没找到粗体在哪里、、
在i方向投影后得到简单的标量微分方程
这个微分方程的通解是
我们就从理论上得出了位移公式，相比在“并不严格的方法”中直接给出的位移公式，是不是更加有说服力？
从三角函数的知识可知
现在用分析力学的方法求解运动方程
先写出拉格朗日函数
把拉格朗日函数代入拉格朗日方程
即得