Question

已知函数f（x）=x|x2-3|，x∈[0，m]，其中m∈R，且m＞0 （1）若m＜1，求证：函数f（x）是增函数； （2）如

已知函数f（x）=x|x2-3|，x∈[0，m]，其中m∈R，且m＞0
（1）若m＜1，求证：函数f（x）是增函数；
（2）如果函数f（x）的值域是[0，2]，试求m的取值范围．
（3）如果函数f（x）的值域是[0，λm2]，试求实数λ的最小值．

Answer 1

(1)m<1时f(x)=-x3+3x
f(x)的导数为-3x2+3
因为-3x2+3在x小于1时大于0
所以f(x)在[0,m)上是增函数
(2)0<=m<=2
(3)最小值为0

Answer 2

（1）当M<1时，x^2<1,故：
f(x)=3x-x^3
f '(x)=3-3x^2=3(1-x^2),显然，1-x^2>0,即f '(x)>0，即函数f（x）在定义域上是增函数；

（2）分类讨论：
①当m<√3,时，f(x)=3x-x^3，有0=<f(x)<=2,
显然，上式左边成立，只需考虑右边部分：
f(x)=3x-x^3<=2.等价于 (x-2)（x-1）^2<=0,得x<=2,
又m<√3，所以m<√3
②当m>=√3,时，f(x)=x^3-3x，有0=<f(x)<=2,
同理，只需考虑f(x)=x^3-3x<=2.
等价于 （x-2）（x+1）^2<=0,所以想x<=2
综上，0=<x<=2,即m取值范围是(0，2]。
（3）分情况讨论；
①当m<=1时，函数f(x)=3x-x^3在定义域上递增，故
f(x)max=f(m)=3m-m^2=f(x)max,
即λ=(3-m^2)/m,求导知，f'(x)<0,故x=1时，λmin=2；
②1<m<=2时，f(x)max=2=λm^2，
λ=2/m^2，m=2时，λmin=1/2；
③m>2时，同理知，f(x)max=m^3-3m=λm^2
得,λ=(m^2-3)/m,函数递增，x=2时，λmin=1/2
综上，λmin=1/2

Answer 3

(1)构造函数g（x）=x H（x）=|x2-3|
因为x在0-1之间
H（x）=3-x2
根据指数函数图像
0《x《1时
x2随x大而小
所以H（x）为增函数
f（x）=g（x）H（x）为增函数