Question

如图，在三角形ABC中，AD是角平分线，点E在AB上，且AE=AC，EF\\BC交AC于点f，求证EC平分∠DEF

Answer 1

证明：设AD与EC交于点O，
因为AD是△ABC的角平分线，
则∠BAD=∠CAD，
又因为AE=AC，
所以∠AEC=∠ACE，
则△AEO≌△ACO（ASA），
所以∠AOE=∠AOC=90°，EO=OC，
所以AD⊥EC，
又因为DO=DO，
所以△DEO≌△DCO（SAS），
所以∠DEC=∠DCE，
又因为EF∥BC，
所以∠FEC=∠DCE=∠DEC，
所以EC平分∠DEF。

Answer 2

证明:∵AE=AC;AD=AD;∠EAD=∠CAD.
∴⊿EAD≌⊿CAD(SAS),DE=DC,得∠DEC=∠DCE;
又EF∥BC,则:∠FEC=∠DCE.
∴∠FEC=∠DEC,即EC平分∠DEF.

Answer 3

证明：
∵AE＝AC，AD平分∠BAC
∴AD垂直平分CE （三线合一）
∴CD＝ED
∴∠DEC＝∠DCE
∵EF∥BC
∴∠FEC＝∠DCE
∴∠DEC＝∠FEC
∴EC平分∠DEF