Question

为了求1+2+2²+2³+…+2^2010的值，可令S=1+2+2²+2³+…2^2010，

则2S=2+2²+2³+2^4+…2^2011，因此2S-S=2^2011-1，
所以1+2+2²+2³+…+2^2011=2^2011-1。仿照以上推理计算出1+5+5²+5³+…+5^2011的值是_____。

Answer 1

为了求1+2+2²+2³+…+2^2010的值，可令S=1+2+2²+2³+…2^2010，
则2S=2+2²+2³+2^4+…2^2011，
因此
2S-S=2^2011-1，
S(2-1)=2^2011-1
S=(2^2011-1)/(2-1)
所以1+2+2²+2³+…+2^2011=2^2011-1。仿照以上推理计算出1+5+5²+5³+…+5^2011的值是_____。
1+5+5²+5³+…+5^2011=(5^2012-1)/(5-1)

Sn=1+q+q²+q³+…+q^n
qSn=q+q²+q³+…+q^(n+1)
qSn-Sn=q^(n+1)-1
(q-1)Sn=q^(n+1)-1
Sn=[q^(n+1)-1]/(q-1)

q=2 n=2010
S2010=1+2+2²+2³+…+2^2010==(2^2011-1)/(2-1)=(2^2011-1)

q=5 n=2011
S2011=1+5+5²+5³+…+5^2011=(5^2012-1)/(5-1) =(5^2012-1)/4

Answer 2

令S=1+5+5²+5³+…+5^2011
则5S=5+5²+5³+…+5^2011+5^2012
因此5S-S=5^2012-1
所以S=（5^2012-1）/4，即为所求。

祝学习进步！

Answer 3

Let S=1+5+5^2+5^3+…+5^2011——①
then 5S=5+5^2+s^3+5^4+...+5^2012——②
Therefore
②-①=＞ 4S=5^2012-1
then S=(5^2012-1)/4