Question

四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E是AC中点,EF平分∠BED,交BD于点F。请猜想；EF与BD的关系 为什么BE=

二分之一AC，没说角C是30°啊

Answer 1

EF垂直平分BD,
因为E为AC中点，所以BE是RT△ABC斜边AC上的中线，BE=AC/2
同样，DE是RT△ADC斜边AC上中线，DE=AC
因此BE=DE，连接BD
△BED是等腰三角形，EF为顶角平分线，所以也是底边上的高，同时是底边BD上的中线
因此EF垂直BD
其中BE=AC是直角三角形斜边上中线的性质，其长度等于斜边长的一半
不需要有30度角
这个可以根据矩形对角线相等且互相平分
因此连接每个顶点与对角线交点的线段长都是对角线长度的一半
从中沿一条对角线将矩形平分成两个全等的直角三角形，每个直角三角形斜边上的中线（也就是原来矩形顶点到对角线交点的距离）为斜边（也就是原来矩形的对角线）的一半

追问

谢谢

追答

不用客气

Answer 2

EF⊥BD.
证明:∵∠ABC=90°;AE=CE.
∴BE=AC/2.(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半)
同理可证:DE=AC/2.
故BE=DE;又EF平分∠BED.
∴EF⊥BD.(等腰三角形顶角的平分线也是底边的高)

追问

都说的 EF垂直平分BD 你们怎么算的

追答

证法1:∵BE=DE;EF平分∠BED.
∴EF垂直平分BD.(等腰三角形"三线合一")

证法2:∵BE=DE,EF=EF,∠BEF=∠DEF.
∴⊿BEF≌⊿DEF(SAS),BF=DF;∠BFE=∠DFE=90°.
故EF垂直平分BD.

追问

;∠BFE=∠DFE=90°.
怎么得到的 全等完没说四边形 DEFB是 平行四边形 BF=DF 不能说明是菱形呀

Answer 3

MN与BD的位置关系是MN垂直且平分BD，
证明：连接BM、DM，
∵∠ABC=90°，∠ADC=90°，M为AC中点，
∴BM=12AC，DM=12AC，
∴BM=DM，
∵N为BD中点，
∴MN⊥BD，BN=DN，
即MN与BD的位置关系是MN垂直且平分BD．

追问

我看下