Question

已知定义域为R的函数f(x) 同时满足以下条件

1.f(0)=0，x＞0时，f(x)＜0，x＜0时，f(x)＞0 2.对任意实数x、y，都有f(x*y)=-f(x)*f(y)成立 (1)求f(1)与f(-1)的值 (2)判断函数f(x)的奇偶性，并给出理由 (3)证明:对任意不等于零的实数x与任意实数y，f(y/x)=-f(y)/f(x)都成立 (4)若函数f(x)除了满足上述条件1.2.以外，还满足:当0＜x＜1时，f(x)＜-1，判断f(x)单调性并证明

Answer 1

解:
(1)f(x)=f(x*1)=-f(x)*f(1)，因f(x)不恒为0，所以f(1)=-1。
f(1)=f(-1*-1)=-f(-1)*f(-1)，由题意知f(-1)>0，所以f(-1)=1。
(2)定义域为R，f(-x)=-f(-1)f(x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数。
(3)x/=0，则f(x)/=0。所以有f(y)=f[x*(y/x)]=-f(x)*f(y/x)，即f(y/x)=-f(y)/f(x)。
(4)任意的0<x1<x2，此时f(x2)<0，则<0x1/x2<1，有f(x1/x2)=-f(x1)/f(x2)<-1，即f(x1)<f(x2)。
则f(x)在[0,正无穷)上递增，又由f(x)的奇函数性质知f(x)在R上递增。