Question

已知正数a，b，c，d满足a+b=c+d，且a＜c≤d＜b，求证： a + b ＜ c

已知正数a，b，c，d满足a+b=c+d，且a＜c≤d＜b，求证： a + b ＜ c + d ．

Answer 1

证明：要证明 a + b ＜ c + d ，只需证明 ( a + b ) 2 ＜( c + d ) 2 ， 需证明 a+b+2 ab ＜c+d+2 cd ．∵a+b=c+d，故只需证明ab＜cd， 需证明ab-bc＜cd-bc，只需证明 b（a-c）＜c（d-b）．∵a+b=c+d，即（a-c）=（d-b）， 只需证明（a-c）（b-c）＜0．∵a-c＜0，需证明b-c＞0， 而b-c＞0显然成立，∴ a + b ＜ c + d 成立 ．证毕．