Question

已知正项递增的等差数列{an}，sn为数列{an}的前n项和，若s3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列．（1）求{an}

已知正项递增的等差数列{an}，sn为数列{an}的前n项和，若s3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列．（1）求{an}的通项公式；（2）令cn=an3n，求数列{cn}的前n项和Tn．

Answer 1

（1）∵s₃=12，即a₁+a₂+a₃=12，
∴3a₂=12，a₂=4．
设数列{a_n}的公差为d（d＞0），
由题意得，a22=2a1?(a3+1)，a22=2(a2-d)?(a2+d+1)
得d=3或d=-4（舍），
∴a₁=a₂-d=1，
∴{a_n}的通项公式：a_n=3n-2．
（2）bn=

an

3n

=

3n-2

3n

=(3n-2)

1

3n

，
∴Tn=1×

1

3

+4×

1

32

+7×

1

33

+…+(3n-2)×

1

3n

，①

1

3

Tn=1×

1

32

+4×

1

33

+…+(3n-5)×

1

3n

+(3n-2)×

1

3n+1

，②
①-②得

2

3

Tn=

1

3

+3×

1

32

+…+3×

1

3n

-(3n-2)×

1

3n+1

=

5

6

-

1

2

×

1

3n-1

-(3n-2)×

1

3n+1

∴Tn=

5

4

-

6n+5

4

×

1

3n

．