Question

求初三数学竞赛题

需要有答案,最好是有解析

Answer 1

已知AB是圆O的直径,C是圆O上一点,过点C作圆O的切线交直线AB于点D.设圆O的半径为R.当三角形ACD为等腰三角形时,它的面积是多少?
因为三角形ACD为等腰三角形
所以∠A=∠D
C为圆O的切线所以∠OCD=90度
∠COD+∠D=90度
因为OA=OC所以∠A=∠ACO=∠D而∠COD=∠A+∠ACO
所以∠COD+∠D=∠A+∠ACO+∠D=3∠D=90度
所以∠A=∠ACO=∠D=30度
三角形COD中CO=R ∠OCD=90度∠D=30度
所以OD=2OC=2R 所以AD=3R CD=根号3倍R
从C点做AD的垂直线H H=根号3倍R的一半
所以三角形ACD的面积为AD*H/2=3倍根号3R/4

如果方程x^2+ax+b=0和x^2+px+q=0有一个非零公共根，求以它们的相异根为根的二次方程
设第一个方程的两根为x1,x2,第二个方程的两个根为x2,x3;则
x1+x2= -a;
x2+x3= -p; 两式相减得到
x1-x3= p-a…（*）;
另外
x1x2=b;
x2x3=q; 两式相比得到
x1/x3=b/q; 即x1=bx3/q;
代入（*）式有 (b-q)x3/q=p-a,解得x3=(p-a)q/(b-q);
从而 x1=bx3/q=(p-a)b/(b-q);
所以以x1,x3为根的二次方程为
(x-(p-a)q/(b-q))(x-(p-a)b/(b-q))-0;

用100根火柴首尾衔接摆成一个三角形,使最长边的长度是最短边的长度的3倍，求满足以上条件的三角形各边所用火柴棒的根数。
设最短边是a，则最长边=3a，另一边是100-4a
因为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
所以a+3a>100-4a,所以a>100/8
3a-a<100-4a，所以a<100/6
即100/8<a<50/3
同时3a>100-4a
a>100/7
所以100/7<a<50/3
因为a是正整数
所以a=15 或16
所以三边长是15，45，40或16，48，36