Question

若f(x)在x0处有极值，且f'(x0)存在，则必有f'(x0)=0。为什么是必要条件？

Answer 1

1.如果f(x)在x0有极值，说明f（x）的导函数在x0处一侧>0,在另一侧<0,在x0处=0..故f'（x0）=0。所以这是充分条件；

2.但是当f ’(x0)=0，导函数不一定两端有一正一负的情况（如下图），所以这种情况下，原函数f（x）的单调性是没有改变的。所以不存在有极值情况。所以这是不必要条件。

综上所述，当f'(x0)存在 ，

f(x)在x0处有极值，是 f'(x0)=0 的充分不必要条件。

Answer 2

这是因为极值的定义是函数在该点处取得最大值或最小值。如果一个函数在某一点有极值，那么在这个点附近，函数的取值应该比其他点更小或更大。因此，这个点的导数应该为0，否则导数表示的斜率会导致函数的取值在这个点附近增大或减小，与极值的定义相矛盾。

需要注意的是，虽然f'(x0)=0是有极值的必要条件，但并不是充分条件。也就是说，如果在x0处f'(x0)=0，不一定能保证该点为极值点，还需要进行更详细的分析。