Question

已知扇形AOB的周长是8cm. ①若这个扇形的面积为3cmˇ2 ,求其圆心角的大小②求这个扇形面积取得最大值是,圆

已知扇形AOB的周长是8cm. ①若这个扇形的面积为3cmˇ2 ,求其圆心角的大小

②求这个扇形面积取得最大值是,圆心角的大小和弦长AB

Answer 1

（1）
设圆心角为β，半径为r
则有2r+βr=8，（1/2）βr²=3，解得β=6，r=1，或β=2/3，r=3
于是所求等于6，或2/3
（2）2r+βr=8，S=（1/2）βr²
得S=32β/（β²+4β+4）
=32/[β+（4/β）+4]，因为β+（4/β）≥4，当β=2时等号成立
所以S≤32/8=4
此时β=2，r=2，（1/2）AB=2sin1，得AB=4sin1

Answer 2

圆心角应该取正角
设半径为R，弧长为L
（1） 2R+L=8且RL/2=3
2R+L=8且RL=6
解方程2R+6/R=8
R²-4R+3=0
R=1，L=6 或 R=3，L=2
圆心角为6rad 或2/3rad
(2) 2R+L=8
L=8-2R
S=LR/2= (4-R)R=-R²+4R=-(R-2)²+4
当R=2时，S有最大值4