Question

椭球面x^2+y^2+z^2/4=1的第一卦限上求一点,使椭球面在该点处的切平面在三个坐标轴上的截距之平方和最小

Answer 1

设切点为(m，n，p)，
记f(x，y，z)＝x²＋y²＋z²/4 - 1，则
fx'＝2x，fy'＝2y，fz'＝z/2，
因此切平面法向量为(2m，2n，p/2)，
切平面方程为 2m(x-m)＋2n(y-n)＋p/2*(z-p)＝0，
化简得 4mx＋4ny＋pz＝4，
所以切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为 1/m²＋1/n²＋4/p²
＝(m²＋n²＋p²/4)(1/m²＋1/n²＋4/p²)
≥ [m/m＋n/n＋2p/2p]²＝9(柯西不等式)，
当 m^4＝n^4＝p^4/16 且 m²＋n²＋p²/4＝1 即 m＝n＝√3/3，p＝2√3/3 时切平面在三个坐标轴上的截距的平方和最小为 9，
此时切点坐标为(√3/3，√3/3，2√3/3)。