Question

求函数f(x)=x²-ax+a+1在区间[-1,1]上的最小值

求函数f(x)=x²-ax+a+1在区间[-1,1]上的最小值。

请写出答案与解题思路，谢谢！！

Answer 1

一，最常规的做法
讨论对称轴位置，
对称轴为x=a/2
①当对称轴x=a/2<-1时，即a<-2
那么f(x)在区间[-1,1]是递增函数
于是最小值就是f(-1)=(-1)²-a×(-1)+a+1=2a+2
②当对称轴x=a/2>1,即a>2
那么f(x)在区间[-1,1]是递减函数
于是最小值就是f(1)=(1)²-a×(1)+a+1=2
③当对称轴x=a/2在区间[-1,1]上，即-2≤a≤2时
抛物线顶点，即最小点在其中
于是在对称轴上取得最小值
即最小值为
f(a/2)=(a/2)²-a×（a/2)+a+1=-a²/4+a+1

Answer 2

抛物线开口向上，对称轴为 x=a/2 。
（1）当 a/2<-1 即 a<-2 时，f(x) 在 [-1，1] 上为增函数，因此 min=f(-1)=2a+2 ；
（2）当 a/2>1 即 a>2 时，f(x) 在 [-1，1] 上为减函数，因此 min=f(1)=2 ；
（3）当 -1<=a/2<=1 即 -2<=a<=2 时，min=f(a/2)= -a^2/4+a+1 。

Answer 3

解：由题意可得：函数图像的对称轴为：x=a/2，图像开口朝上，有最小值。
当a/2≤-1时，最小值为x=-1即f(x)=2a+2；
当a/2≥1时，最小值为x=1即f(x)=2；
当-1＜a/2＜1时，最小值为x=a/2即f(x)=-a²/4+a+1。