Question

已知△abc,以ab为直径的○o分别交ac于点d

如图,已知△ABC中,AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D,过点D作DE⊥BC,垂足为E,连结OE,CD=√3,角ACB=30○.
⑴求证：DE是⊙O的切线；
⑵分别求AB,OE的长；
⑶填空：如果以点E为圆心,r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为1,则r的取值范围为——.

Answer 1

（1）要证明DE是⊙O的切线,已知OD是圆的半径,只要证明OD⊥DE即可．
（2）根据勾股定理可求得BC的长,从而可求得AB,DE的长,再根据勾股定理即可求得OE的长．
（3）由第二问可知OE的长,根据题意不难求得圆E的半径r的取值范围．（1）证明：连接BD、OD,
∵AB是直径,
∴∠ADB=90°,
又∵AB=BC,
∴AD=CD．
∵AO=BO,
∴OD是△ABC的中位线,
∴OD∥BC．
∵DE⊥BC,
∴OD⊥DE,
∴DE是⊙O的切线．
在Rt△CBD中,CD=3,∠ACB=30°
∴BC=CDcos30°=2,
∴BD=1,AB=2,
在Rt△CDE中,CD=3,∠ACB=30°
∴DE=12CD=32,BC=CDcos30°=2
∵OD是圆O半径,
∴OD=1,
∴OE=OD2+DE2=72．
如图,
当圆E的半径为72-1时,OG=1；
当圆E的半径为72+1时,OG=1,
故72-1＜r＜
72+1．