Question

两个向量组秩相等且一个能够被另一个线性表示，那么这两个向量组等价 如何证明？

Answer 1

向量组A，B等价的充要条件是r(A)=r(A,B)=r(B).

因为A组可由B组线性表示，所以r(B,A) = r(B)

因为r(A)=r(B)所以 r(A)=r(A,B)=r(B)

所以两个向量组等价。

或：

将向量组写成矩阵的式A和B（n维向量，A中向量个数为m，B中向量个数为n）假设B（n*p型）能够被A（m*n型）线性表示。则存在矩阵Q（n*n型），使得AQ=B。

又由于r（B）=r(AQ)<=r(A)+r(Q)-n（书上的定理，证明很复杂，自己去看吧）

且r（B）=r（A），所以r(Q)>=n。于是r（Q）=n，Q可逆。

于是A=BQ^(-1)

则A也能够被B线性表示，所以这两个向量组等价。

扩展资料：

有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组。行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩，容易证明行秩等于列秩，所以就可成为矩阵的秩。矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用，可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。

参考资料来源：百度百科-向量组的秩

Answer 2

知识点: 向量组A,B等价的充要条件是 r(A)=r(A,B)=r(B).

因为 A组可由B组线性表示, 所以 r(B,A) = r(B)
因为 r(A)=r(B), 所以 r(A)=r(A,B)=r(B)
所以两个向量组等价

Answer 3

将向量组写成矩阵的形式A和B（n维向量，A中向量个数为m，B中向量个数为n），假设B（n*p型）能够被A（m*n型）线性表示。则存在矩阵Q（n*n型），使得AQ=B。
又由于r（B）=r(AQ)<=r(A)+r(Q)-n（书上的定理，证明很复杂，自己去看吧）
且r（B）=r（A），所以r(Q)>=n。于是r（Q）=n，Q可逆。
于是A=BQ^(-1)
则A也能够被B线性表示，所以这两个向量组等价。