Question

若直线y=x+b与曲线x=根号（4-y2)恰有一个公共点，则b的取值范围是？

Answer 1

若直线y=x+b与曲线x=根号（4-y2)恰有一个公共点.
则y-b=根号（4-y²)只有一个根，直线y=x+b与曲线x=根号（4-y2)相切。
两侧平方得y²-2by+b²=4-y²,即2y²-2by+b²-4=0
∵△=4b²-8(b²-4)=4(8-b²)
∵△=0时2y²-2by+b²-4=0只有一个根
∴b=±2√2
当b=2√2时，x=-√2，y=√2，不符合要求。 当b=-2√2时，x=√2，y=-√2，符合要求。
当b=2时，直线y=x+2与曲线x=根号（4-y2)恰有一个公共点（0，2）。
当b=-2时，直线y=x-2与曲线x=根号（4-y2)恰有两个公共点（0，-2）和（2，0）。
当-2<b<2时，直线y=x+2与曲线x=根号（4-y2)只有一个交点。
当-2√2<b<-2时，直线y=x+2与曲线x=根号（4-y2)有两个交点。
∴b的取值范围是(-2,2]或b=-2√2。

Answer 2

直线y=x+b与曲线x=根号（4-y2)恰有一个公共点.
则y-b=根号（4-y²)只有一个根，直线y=x+b与曲线x=根号（4-y2)相切。
两侧平方得y²-2by+b²=4-y²,即2y²-2by+b²-4=0
∵三角形=4b²-8(b²-4)=4(8-b²)
∵三角形=0时2y²-2by+b²-4=0只有一个根
∴b=±2√2
当b=2√2，x=-√2，y=√2，不符合要求。 当b=-2√2，x=√2，y=-√2，符合要求。
当b=2，直线y=x+2与曲线x=√（4-y2)恰有一个公共点（0，2）。
当b=-2，直线y=x-2与曲线x=√（4-y2)恰有两个公共点（0，-2）和（2，0）。
当-2<b<2，直线y=x+2与曲线x=√（4-y2)只有一个交点。
当-2√2<b<-2，直线y=x+2与曲线x=√（4-y2)有两个交点。
∴b的取值范围是(-2,2]或b=-2√2。

Answer 3

补充上面的回答：其实曲线x=根号（4-y2)就是一个以2为半径的圆，但只能取y轴右侧的一半圆，然后通过画图，就可以求出b的范围。