Question

图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方

如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．

（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；
（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系．（不需要证明）

Answer 1

(1)角D1DA与角D1AD互余，角D1AD与角CAB互余，可以得到角D1DA=角CAB
角D1AD与角CAB互余，角CAB与角ACB互余，可以得到角D1AD=角ACB
根据正方形性质可以得到DA=AC，故三角形DD1A与三角形ABC全等
所以DD1=AB
（2）过C做C1⊥l于C1，与前面类似可以证明△DD1A≌△AC1C,△CC1B≌△BE1E,
可以得到DD1=AC1，EE1=BC1，故DD1+EE1=AC1+BC1=AB
（3）DD1-EE1=AB

Answer 2

分析： (1)由四边形CADF、CBEG是正方形，可得AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，又由同角的余角相等，求得∠ADD1=∠CAB，然后利用AAS证得△ADD1≌△CAB，根据全等三角形的对应边相等，即可得DD1=AB；
(2)首先过点C作CH⊥AB于H，由DD1⊥AB，可得∠DD1A=∠CHA=90°，由四边形CADF是正方形，可得AD=CA，又由同角的余角相等，求得∠ADD1=∠CAH，然后利用AAS证得△ADD1≌△CAH，根据全等三角形的对应边相等，即可得DD1=AH，同理EE1=BH，则可得AB=DD1+EE1．
(3)证明方法同(2)，易得AB=DD1﹣EE1．

点评： 此题考查了正方形的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．

(1)证明：∵四边形CADF、CBEG是正方形，
∴AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，
∴∠DAD1+∠CAB=90°，
∵DD1⊥AB，
∴∠DD1A=∠ABC=90°，
∴∠DAD1+∠ADD1=90°，
∴∠ADD1=∠CAB，
在△ADD1和△CAB中，
∠DD1A=∠ABC，
∠ ADD1=∠CAB,
AB=CA,
∴△ADD1≌△CAB(AAS)，
∴DD1=AB；
(2)解：AB=DD1+EE1．
证明：过点C作CH⊥AB于H，
∵DD1⊥AB，
∴∠DD1A=∠CHA=90°，
∴∠DAD1+∠ADD1=90°，
∵四边形CADF是正方形，
∴AD=CA，∠DAC=90°，
∴∠DAD1+∠CAH=90°，
∴∠ADD1=∠CAH，
在△ADD1和△CAH中，
∠DD1A=∠CHA，
∠ADD1=∠CAH,
AD=CA,
∴△ADD1≌△CAH(AAS)，
∴DD1=AH；
同理：EE1=BH，
∴AB=AH+BH=DD1+EE1；
(3)解：AB=DD1﹣EE1．
证明：过点C作CH⊥AB于H，
∵DD1⊥AB，
∴∠DD1A=∠CHA=90°，
∴∠DAD1+∠ADD1=90°，
∵四边形CADF是正方形，
∴AD=CA，∠DAC=90°，
∴∠DAD1+∠CAH=90°，
∴∠ADD1=∠CAH，
在△ADD1和△CAH中，
∠DD1A=∠CHA，
∠ADD1=∠CAH,
AD=CA,
∴△ADD1≌△CAH(AAS)，
∴DD1=AH；
同理：EE1=BH，
∴AB=AH﹣BH=DD1﹣EE1．