Question

在△ABC所在平面内求一点P,使AP平方+BP平方+CP平方最小?

Answer 1

解答：
建立直角坐标系，
A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)
设P(x,y)
则AP平方+BP平方+CP平方
=(x-x1)²+(y-y1)²+(x-x2)²+(y-y2)²+(x-x3)²+(y-y3)²
=3x²-2(x1+x2+x3)x+x1²+x2²+x3²+3y²-2(y1+y2+y3)x+y1²+y2²+y3²
分别是关于x,关于y的二次函数
利用二次函数的知识
∴ x=(x1+x2+x3)/3，y=(y1+y2+y3)/3时，AP平方+BP平方+CP平方最小
此时，P是三角形ABC的重心

追问

=3x²-2(x1+x2+x3)x+x1²+x2²+x3²+3y²-2(y1+y2+y3)x+y1²+y2²+y3²
分别是关于x,关于y的二次函数
这部没有懂

追答

3x²-2(x1+x2+x3)x+x1²+x2²+x3²，是关于x的二次函数，当x=(x1+x2+x3)/3时有最小值

3y²-2(y1+y2+y3)x+y1²+y2²+y3²，是关于y的二次函数，当y=(y1+y2+y3)/3时有最小值

追问

应该还要配方才能看出来啊，求完整答案

追答

谁告诉求二次函数值域要配方的，有公式，直接用就行。

追问

什么公式啊？

追答

y=ax²+bx+c(a≠0)
a>0, x=-b/(2a)时，有最小值
a<0, x=-b/(2a)时，有最大值