Question

直线y=-x+1与抛物线y=x^2-a有两个不同交点 抛物线在两点处切线分别为L1，L2. 求a值变化时L1与L2交点的轨迹

求详解，感激不尽。

Answer 1

y=-x+1与y=x^2-a联立消去y
得x²-a=-x+1
即x²+x-a-1=0
Δ=1+4(a+1)>0
设交点为A(x1,y1),B(x2,y2)
∴x1+x2=-1,x1x2=-(a+1)
对y=x²-a求导得，y'=2x
L1:y-y1=2x1(x-x1) ①
L2:y-y2=2x2(x-x2) ②
①-②:
y2-y1=2(x1-x2)x+2(x²2-x²1)
∵y1=-x1+1,y2=-x2+1
∴x1-x2=2(x1-x2)x+2(x2+x1)(x2-x1)
∵x1≠x2
∴1=2x-2(x1+x2)=2x+2
∴x=-1/2
即L1,L2交点的横坐标为常数-1/2
将 x=-1/2代入y=-x+1，
得y=3/2
∴L1,L2交点的方程为x=-1/2( y<3/2)
轨迹为射线

Answer 2

L1 L2既然是交点那么肯定在y=-x+1上
当抛物线的切线斜率等于-1时两个交点重合 a=-0.25
因此 L1 L2随着a的变小逐渐在y=-x+1上向相反方向远离(0.5,0.5)