Question

设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明:(提示:AA*=│A│In)

（1）若│A│=0，则│A*│=0
(2)│A*│=│A│ˆ(n-1)

Answer 1

在百度上看到别人正好问了这个问题，答案就复制过来了，网址是http://zhidao.baidu.com/question/145016219(1)
证：

如果r(A)<n-1，A的所有n-1阶子式行列式都为0
由伴随阵的定义，A*=0
∴|A*|=0

如果r(A)=n-1
A(A*)=|A|E=0
A*的列向量为Ax=0的解，根据线性方程组理论
r(A)+r(A*)≤n
∴r(A*)≤1
∴|A*|=0

结论得证！

(2)
如果|A|=0，利用(1)的结论，|A*|=0
∴|A*|=|A|^(n-1)
如果|A|≠0，
∵A(A*)=|A|E
∴|A(A*)|=||A|E|【注意|A|是常数，计算行列式提出来就是|A|^n】
即：|A||A*|=|A|^n
∴|A*|=|A|^(n-1)