Question

已知函数f（x）=3x方+2（k-1）x+k+5（k∈r）在区间（0，2）内

接题目 有零点，求k的取值范围 高二题目

Answer 1

f(x)=3x²＋2(k－1)x＋k＋5在区间(0，2)内有零点，则：
(1)判别式=4(k－1)²－12(k＋5)=0时，得：k=7或者k=－2，此时方程的根分别是：
k=7时，根是：x1=x2=－2
k=－2时，根是：x1=x2=1
(2)若判别式大于0，则：k>7或k<－2
此时：
①若两根都在(0，2)内，则：对称轴在(0，2)内、f(0)>0、f(2)>0，得：此时无解；
②若在(0，2)内存在一个根，则：f(0)×f(2)<0，得：－5<k<－2
综合，得：－5<k≤－2

Answer 2

符合分离变量化简条件
3x²+2（k-1）x+k+5=0
k=-（3x²-2x+5)/(2x+1)
=-(1/4)[3(2x+1)+27/(2x+1)-10],x∈（0,2）
令t=2x+1，则t∈（1,5）
k=-（1/4)[3t+（27/t）-10]
令f（t）=3t+27/t，t∈（1,5）【对勾函数】
f（t）≥18，当t=3时等号成立
当1＜t＜3时f（t）单调减，f（1）=30
当3＜t＜5时f（t）单调增，f（5）=15+（27/5）＜f（1）
于是f（t）∈[18,30）
于是k∈（-5，-2]

Answer 3

教师良驹或djh123ok都是对的，此类问题常用这两种方法求解，或者反解，先找在（0，2）上无解的情况再求其补集，可结合图像讨论。

Answer 4

嗯， 确实要分情况， 教师良驹解+1