Question

如图1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起

(2)若三角尺GEF旋转到如图3的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N
如图1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起，现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD的中点)按顺时针方向旋转。
(1)如图2，当EF与工AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM、FN满足的数量关系，并证明你的猜想;
(2)若三角尺GEF旋转到如图3的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，(1)中的猜想还成立吗？若成立，请证明;若不成立，请说明理由

Answer 1

（1）BM=FN．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．
又∵∠BOM=∠FON，
∴ △OBM≌△OFN ．
∴ BM=FN．
（2）BM=FN仍然成立．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．
∴∠MBO=∠NFO=135°．
又∵∠MOB=∠NOF，
∴ △OBM≌△OFN ．
∴ BM=FN．

Answer 2

1）猜想BM=FN．
　　理由：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
　　∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．
　　又∵∠BOM=∠FON ∴ △OBM≌△OFN ．∴ BM=FN．
　　（2）BM=FN仍然成立．
　　理由：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
　　∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．
　　∴∠MBO=∠NFO=135°．
　　又∵∠MOB=∠NOF， ∴ △OBM≌△OFN ．∴ BM=FN．

Answer 3

（1）BM=FN． 证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形， ∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF． 又∵∠BOM=∠FON， ∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN． （2）BM=FN仍然成立． 证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF． ∴∠MBO=∠NFO=135°． 又∵∠MOB=∠NOF， ∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN．