Question

已知三角形ABC两边AB、AC的长是关于X的一元二次方程x^2-(2k+1)x+k（k+1）=0

已知三角形ABC两边AB、AC的长是关于X的一元二次方程x^2-(2k+1)x+k（k+1）=0的两个实数根，第三边BC的长为5(1）k为何值时，三角形ABC是以BC为斜边的直角三角形？
（2）k为何值时，三角形ABC是等腰三角形？并求三角形ABC的周长

Answer 1

三角形ABC两边AB、AC的长是关于X的一元二次方程x^2-(2k+1)x+k（k+1）=0的两个实数根
所以AB+AC=2k+1 ABXAC=K(K+1)
BC=5
所以AB^2+AC^2=(AB+AC)^2-2ABxAC=(2K+1)^2-2K(K+1)=4K^2+4K+1-2K^2-2K=2K^2+2K+1
三角形ABC是以BC为斜边的直角三角形
所以AB^2+AC^2=BC^2 所以AB^2+AC^2=25 2K^2+2K+1=25 K=3或K=-4
三角形ABC为等腰三角形AB不等于AC(判别式=1）
所以AB=BC=5 或者AC=BC=5 K=3或者K=7
当K=3 三角形三边分别为5 5 2 周长为12
当K=7三角形三边分别为5 5 10（舍）
所以K=3 三角形ABC周长为12

Answer 2

∵x^2-(2k+1)x+k（k+1）=0
∴﹙x－k﹚[x－﹙k＋1﹚]＝0
∴x1＝k,x2＝k＋1
∴AB＝k,AC＝k＋1(不妨设AB＜AC)
⑴若三角形ABC是以BC为斜边的直角三角形，则BC²＝AB²＋AC²
∴5²＝k²＋﹙k＋1﹚²＝2k²＋2k＋1即k²＋k－12＝0
解得k＝3或k＝﹣4（舍去）
∴k＝3时，三角形ABC是以BC为斜边的直角三角形；
⑵若AB=BC=5，则k＝5,等腰△ABC的周长＝5＋6＋5＝16；
若AC=BC=5，则k＝4,等腰△ABC的周长＝周长＝4＋5＋5＝14；