Question

设有映射f:A 到B， g:B到C，如何证明：（1）若f。g是单射，f是满射，则g是单射。

（2）若g。f是满射，g是单射，则f是满射

Answer 1

用反证法证明。

假设g不是单射，不妨设B中元素a,b由g映射到C中同一元素c上，则因为f是满射，所以存在A中元素d,f分别由f映射到a,b上，所以d,f由f⊙g映射到c上，即f⊙g不为单射。与条件矛盾，假设不成立。所以g一定为单射。

例如：

若f不单, 则存在A的元素a1≠ a2使得f(a1)=f(a2). (1)

由(1)得到g(f(a1))=g(f(a2))

所以g(f)不是单射，这就与g(f)是双射矛盾，所以f单。

另一方面，若g不满，则存在C的元素c使得对B的任意元素b有g(b)≠c，(2)

对A的任意元素a, f(a)是B的一个元素，所以由(2)得到g(f(a))≠c

所以g(f)不是满射，这就与g(f)是双射矛盾，所以g满。

证毕

扩展资料：

对任一集合X，X上的恒等函数为单射的。

函数f : R → R，其定义为f(x) = 2x + 1，是单射的。

函数g : R → R，其定义为g(x) = x^2，不是单射的，因为g(1) = 1 = g(1)。但若将g的定义域限在非负数[0,+∞)内或非正数(-∞,0]内，则g是单射的。

指数函数exp：R → R+：x → e^x（e的x次方）是单射的。

自然对数函数ln：(0，+∞) → R：x → ln x是单射的。

函数g : R → R，其定义为g(x) = x^3 x，不是单射的，因为 g(0) = g(1)。

参考资料来源：百度百科-单射

Answer 2

用反证法证明，假设g不是单射，不妨设B中元素a,b由g映射到C中同一元素c上。则因为f是满射，所以存在A中元素d,f分别由f映射到a,b上，所以d,f由f⊙g映射到c上，即f⊙g不为单射。与条件矛盾，假设不成立。所以g一定为单射