Question

如上图,F1,F2是双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1的左右焦点,过F1的直线l与C的左右两支分

如上图,F1,F2是双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1的左右焦点,过F1的直线l与C的左右两支分别交于AB两点，若AB:BF2：AF2=3：4：5，则双曲线的离心率为？

Answer 1

|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5

说明BF2⊥AB

设|AB|=3m

|BF2|=4m

|AF2|=5m

根据双曲线的特性

BF1-BF2=2a

即AF1+AB-BF2=2a......1式

AF2-AF1=2a...........2式

1+2式，得

AB-BF2+AF2=4a

3m-4m+5m=4a

a=m

AF1=5m-2m=3m

∴BF1=3m+3m=6m

△F1BF2也是直角三角形

∴F1F2^2=(6m)^2+(4m)^2=52m^2

F1F2=2√13m

c=2√13m/2=√13m

双曲线的离心率e=c/a=√13

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