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函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x∈R都有f(x+1)=f(1-x)成立,若当x∈[0,1]时,f(x)=loga(x+1),a>1(1)求f(10)的值(2)...
函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x∈R都有f(x+1)=f(1-x)成立,若当x∈[0,1]时,f(x)=loga(x+1),a>1
(1)求f(10)的值
(2)求x∈[2011,2013]时,函数f(x)的表达式
(3)若函数f(x)的最大值为1/2,解关于x的不等式f(x)>1/4
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(1)求f(10)的值
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(3)若函数f(x)的最大值为1/2,解关于x的不等式f(x)>1/4
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(1)由f(x+1)=f(1-x)且f(x)是奇函数,可得f(x+1)=-f(x-1)。取x=9、7、5、3、1,可得f(10)=-f(8),f(8)=-f(6),f(6)=-f(4),f(4)=-f(2),f(2)=-f(0)。所以,f(10)=-f(0),而f(0)=loga(0+1)=0,所以f(10)=0,
(2)从第一问的推导可以看出f(x)是以4为周期的函数,2011÷4余数是3,所以区间[2011,2013]上的函数图象应该和区间[3,5]上的函数图象相同。再往左推一个周期,即和[-1,1]区间相同。而在[0,1]区间上函数表达式是f(x)=loga(x+1),(a>1,x∈[0,1])。且f(x)是奇函数。所以在[-1,0]上函数图象是f(x)=-loga(x+1),(a>1,x∈[-1])。所以[2011,2013]上函数表达式是f(x)=loga(x+1),(a>1,x∈[2011,2012]),f(x)=-loga(x+1),(a>1,x∈[2012,2013]。
(3)由f(x+1)=-f(x-1)可看出,函数是关于x=1对称的,画出函数图象可以看出,在(-1,3]周期内,f(1)最大,即loga(1+1)=1/2,解得a=4,在(-1,1]内,要使log4(x+1)>1/4,x要大于根号2,由函数关于x=1对称,可以得到[1,3)内,x要<2-根号2,综合起来,x取值范围是(根号2,2-根号2)区间内,并可以以4为周期取到其他区间。
(2)从第一问的推导可以看出f(x)是以4为周期的函数,2011÷4余数是3,所以区间[2011,2013]上的函数图象应该和区间[3,5]上的函数图象相同。再往左推一个周期,即和[-1,1]区间相同。而在[0,1]区间上函数表达式是f(x)=loga(x+1),(a>1,x∈[0,1])。且f(x)是奇函数。所以在[-1,0]上函数图象是f(x)=-loga(x+1),(a>1,x∈[-1])。所以[2011,2013]上函数表达式是f(x)=loga(x+1),(a>1,x∈[2011,2012]),f(x)=-loga(x+1),(a>1,x∈[2012,2013]。
(3)由f(x+1)=-f(x-1)可看出,函数是关于x=1对称的,画出函数图象可以看出,在(-1,3]周期内,f(1)最大,即loga(1+1)=1/2,解得a=4,在(-1,1]内,要使log4(x+1)>1/4,x要大于根号2,由函数关于x=1对称,可以得到[1,3)内,x要<2-根号2,综合起来,x取值范围是(根号2,2-根号2)区间内,并可以以4为周期取到其他区间。
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函数f(x)是定义在R上的奇函数 f(-x)=f(x)
f(x+4)=f[x+3)+1]=f[1-3-x]=-f(x+2)=-f[(x+1)+1]=-[f(1-1-x)=-f(-x)=f(x)
∴f(x)是周期为4的函数
⑴f(2)=-f(-2)=-f(-2+4)=-f(2) ∴f(2)=0
f(10)=f(2×4+2)=f(2)=0
⑵2011=503×4-1 2013=503×4+1
∴x∈[2011,2012] f(x)=-loga [1-(x-2012)]=-loga (2013-x)
x∈[2012,2013] f(x)=loga [1+(x-2012)]=loga (x-2011)
⑶∵f(x+1)=f(1-x)∴f(x)关于直线x=1对称
∴f(x)在[0,1]上是增函数[1,2]是减函数
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数
∴f(x)在[-1,0]上是增函数[-2,-1]是减函数
f(x)在一个周期[-2,2]内在X=1处取最大值X=-1最小值
f(1)=1/2 loga 2=1/2 a=4
在一个周期内[-2,2] 解 f(x)>1/4
∴√2-1<x<3-√2
∵f(x)是周期为4的函数
∴f(x)>1/4 的解 (4k+√2-1,4k+3-√2) k∈Z
f(x+4)=f[x+3)+1]=f[1-3-x]=-f(x+2)=-f[(x+1)+1]=-[f(1-1-x)=-f(-x)=f(x)
∴f(x)是周期为4的函数
⑴f(2)=-f(-2)=-f(-2+4)=-f(2) ∴f(2)=0
f(10)=f(2×4+2)=f(2)=0
⑵2011=503×4-1 2013=503×4+1
∴x∈[2011,2012] f(x)=-loga [1-(x-2012)]=-loga (2013-x)
x∈[2012,2013] f(x)=loga [1+(x-2012)]=loga (x-2011)
⑶∵f(x+1)=f(1-x)∴f(x)关于直线x=1对称
∴f(x)在[0,1]上是增函数[1,2]是减函数
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数
∴f(x)在[-1,0]上是增函数[-2,-1]是减函数
f(x)在一个周期[-2,2]内在X=1处取最大值X=-1最小值
f(1)=1/2 loga 2=1/2 a=4
在一个周期内[-2,2] 解 f(x)>1/4
∴√2-1<x<3-√2
∵f(x)是周期为4的函数
∴f(x)>1/4 的解 (4k+√2-1,4k+3-√2) k∈Z
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根据f(x+1)=f(1-x),可以推出f(x)是周期为4的奇函数。剩下的你自己会解。
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