Question

（本小题满分14分）已知函数 ， .（Ⅰ）求函数 的单调区间；（Ⅱ）若函数 在[

（本小题满分14分）已知函数 ， .（Ⅰ）求函数 的单调区间；（Ⅱ）若函数 在[ 上有零点，求 的最大值；（Ⅲ）证明： 在其定义域内恒成立，并比较 与 （ 且 ）的大小.





Answer 1

(Ⅰ)单调递增区间为 ，单调递减区间为   (Ⅱ)  -2（Ⅲ）略

：（Ⅰ）由题知： 的定义域为（0,+∞）∵ ∴函数 的单调递增区间为 　 的单调递减区间为 (Ⅱ)∵ 在x∈ 上的最小值为 且 = ∴ 在x∈ 上没有零点，∴要想使函数 在 （n∈Z）上有零点，并考虑到 在 单调递增且在 单调递减，故只须 且 即可， 易验证 ，当n≤-2且n∈Z时均有 ，即函数 在 上有零点，∴n的最大值为-2. (Ⅲ)要证明 ，即证 只须证lnx-x+1 上恒成立.令h(x)=lnx-x+1(x>0),由 则在x=1处有极大值（也是最大值）h(1)=0∴lnx-x+1 上恒成立. ∴ ∴ =(n-1)- <(n-1)-[ ] =(n-1)-(   = ∴ < .