Question

高中数学 难题求解 三棱锥p-abc中，顶点p在平面abc的摄影为o，满足:向量oa+向量ob

高中数学 难题求解
三棱锥p-abc中，顶点p在平面abc的摄影为o，满足:向量oa+向量ob+向量oc=0，a点在侧面pbc上的射影H是三角形pbc的垂心，pa=6,则此三棱锥体积最大值为？

Answer 1

点A在侧面PBC的射影是△PBC的垂心，
∴PH⊥BC,
∴AP⊥BC,
同理，BP⊥CA,CP⊥AB.
∴点P在平面ABC的射影是△ABC的垂心，
又向量OA+OB+OC=0，
∴O是△ABC的重心，
∴△ABC是等边三角形，
∴PB=PC=PA=6，
设AB=x,则AO=x/√3，PO=√（36-x^2/3),S△ABC=(√3/4)x^2,
V=(1/3)(√3/4)x^2*√（36-x^2/3)=(1/12)√[x^4(108-x^2)]
=(√2/24)√[x^2*x^2(216-2x^2)]
<=(√2/24)√(216/3)^3=36,为所求。