Question

如图，已知二次函数y=-1/4x^2+3/2x+4 的图象与y轴交于点A，与x轴 交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D

就是那个题 尤其是第二问

1.线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

可求出D（3，0），CD=5，

设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，则：

 b=4   ① 

8k+b=0   ②     

由①②解得 k=-1/2 

                   b=4     

所以y=-1/2x+4

第一种情况是当DE=DC时，因为CD=5  所以AD=5 

又因为D（3，0）所以OE=4   所以E1（0，4）

第二种情况当DE=EC时，可得E2的坐标为(11/2,5/4)

第三种情况当DC=EC时，如图，

过点E作EG垂直CD，则△CEG相似于△CAO

EG/OA = CG/OC = CE/AC

即EG=根号5  CG=2根号5   

所以E3（8-2根号5 , 根号5）

综上所述，符合条件的E点共有三个 E1（0，4） E2的坐标为(11/2,5/4) E3（8-2根号5 , 根号5）

Answer 2

由抛物线易求得A,C,D坐标为A(0,4), C(8,0), D(3,0)
∴线段AC所在直线方程为y=-1/2*x+4 （0≤x≤8）
设点E坐标为E(m,n)，且满足n=-1/2*m+4，0≤m≤8
可得ED=√[(m-3)^2+n^2], EC=√[(m-8)^2+n^2], CD=8-3=5
△EDC为等腰三角形，则有以下三种情况：
①ED=EC，即(m-3)^2+n^2=(m-8)^2+n^2
解得m=11/2，n=5/4
②EC=CD，即(m-8)^2+n^2=5^2
代入n=-1/2*m+4，
解得m=8-2√5，n=√5 （另一根m=8+2√5>8舍弃）
③ED=CD，即(m-3)^2+n^2=5^2
代入n=-1/2*m+4，
解得m=0，n=4 （此时，E,A重合）
（另一根m=8舍弃，因此时E,C重合，不构成三角形）
综上所述，符合条件的所有E点为(11/2,5/4),(8-2√5,√5),(0,4)

Answer 3

y＝(-1/4)x²＋(3/2)x＋4.令x=0得到A（0，4）；令y=0,得到B(-2,0),C(8,0).
抛物线的对称轴方程为直线x=3.所以点D的坐标为D(3,0).
由于|AD|=5,(勾股定理）；|DC|=5,所以A就是E的一个位置。
我们作线段DC的中垂线x=(5/2),交线段AC于E，此时，E的第二个位置就有了。
由于线段AC的方程为（两点式）：（x/8)+(y/4)=1.将x=(5/2)代入即可。

Answer 4

如图，已知二次函数y=-1/4x^2+3/2x+4 的图象与y轴交于点A，与x轴 交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D. 1.线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由。

二次函数y=-1/4x^2+3/2x+4 的图象与y轴交于点A，
x=0, y=4
A(0,4)
与x轴 交于B、C两点
y=0
-1/4x^2+3/2x+4=0
x1=-2
x2=8
B(-2,0), C(8,0)
其对称轴与x轴交于点D.
x=-b/2a=-(3/2)/2*(-1/4)=3
D(3,0)
1.线段AC上存在点E，使得△EDC为等腰三角形.
直线AC：k=-4/8=-1/2
y-4=(-1/2)(x-0)
y=-x/2+4
设E(x,-x/2+4)
1)
CD=CE
CD^2=CE^2
5^2=(8-x)^2+[0-(-x/2+4)]^2
x=8±2√5(舍去正值)
E(8-2√5,√5)
2)
DE=CE
DE^2=CE^2
(x-3)^2+(-x/2+4-0)^2=(x-8)^2+(-x/2+4-0)^2
x=11/2
E(11/2,5/4)
3)
DE=CD
DE^2=CD^2
(x-3)^2+(-x/2+4-0)^2=5^2
x1=8
x2=0
E(8,0)即点C,舍去
E(0,4)即点A,