Question

关于双曲线的题目

已知F1,F2为双曲线C:X^2-Y^2=2的左右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|.则cos角F1PF2=？ 希望解题过程尽量详细，每个公式从哪里来请注明，要不然看不懂！谢谢！

Answer 1

双曲线C:X^2-Y^2=2，所以实半轴a=√2，虚半轴b=√2。半焦距c=2。∴F1(-2，0）；F2(2，0)。
我们知道，双曲线上的任意一【点P到焦点的距离与P到相应的准线的距离之比】为常数e。
e=c/a=√2。准线的方程为x=±a²/c。即x=±1,由题意，P在双曲线的左支（比如是第一象限的那半支）上。
设P（x,y).则∵|PF1|=e*（x+1)；|PF2|=e*(x-1)。∵|PF1|=2|PF2|.
∴（x+1)=2*(x-1)。这就求出x来了。也就求出|PF1|与|PF2|了，三角形的各边长度都有了，用余弦定理就可以求出角的余弦。

Answer 2

首先双曲线的标准方程为：x²/2-y²/2=1
则：a²=2，b²=2，c²=a²+b²=4，则：c=2
由双曲线的第一定义：|PF1-PF2|=2a
因为|PF1|=2|PF2|，
所以，PF1-PF2=PF2=2a=2√2
则：PF1=2PF2=4√2
所以，在三角形F1PF2中，PF1=4√2，PF2=2√2，F1F2=4
由余弦定理的推论：
cos∠F1PF2=(PF1²+PF2²-F1F2²)/2PF1*PF2
=(32+8-16)/32
=3/4

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

Answer 3

解答：
双曲线C:X^2-Y^2=2
∴ x²/2-y²/2=1
∴ a²=b²=2
∴ c²=a²+b²=4
∴ a=√2，c=2
利用双曲线的定义，|PF1|-|PF2|=2a
又∵ |PF1|=2|PF2|
∴ |PF1|=4a=4√2，
|PF2|=2a=2√2
又|F1F2|=2c=4
利用余弦定理
cos∠F1PF2
=(|PF1|²+|PF2|²-|F1F2|²)/(2*|PF1|*|PF2|)
=(32+8-16)/(2*4√2*2√2)
=24/32
=3/4

Answer 4