Question

导数证明题

Answer 1

首先F（0）=0*f（0）=0
F（1）=1*f（1）=0
所以F（0）=F（1）
而且因为x和f（x）都在[0,1]区间内可导，所以F'（x）=（xf（x））'=x'f（x）+xf'（x）=f（x）+xf'（x），在[0,1]内也可导。根据罗尔中值定理可知
至少存在一个a∈（0,1），使得F'（a）=0
而F'（0）=f（0）+0*f'（0）=0+0=0=F'（a）
而F''（x）=（f（x）+xf'（x））'=f'（x）+x'f'（x）+xf''（x）=2f'（x）+f''（x）在[0,1]区间内可导，那么在[0,a]区间内当然也可导
根据罗尔中值定理可知
至少存在一个ξ∈（0，a），使得F''（ξ）=0
因为a∈（0,1），所以（0，a）是（0,1）的子集，所以ξ∈（0，1）
证明完毕。