Question

如图所示，△ABC是边长为3的等边三角形。

如图所示，△ABC是边长为3的等边三角形。P、Q、R分别是AB,BC,CA上一动点，它们以相同的速度，P由A向B运动，Q由B向C运动，R由C向A运动。
①设AP=x，△PQR的面积为S，求S与x之间的函数关系式；
②当x为何值时，S有最小值，最小值是多少？

Answer 1

（1）解：因为动点P,Q,R的运动速度相同
所以AP=BQ=CR=x
因为三角形ABC是等边三角形
所以角A=60度
S三角形APR=S三角形BPQ=S三角形CQR=1/2*AP*AR*sin角A
因为等边三角形的边长=3
S等边三角形ABC=S三角形PQR+S三角形APR*3
S三角形PQR=s
所以s=1/2*3*3*sin60-1/2*x*(3-x)sin60*3
=3倍根号3/4(x^2-3x+3)
(2)s=3倍根号3/4[(x-3/2)^2+3/4]
=3倍根号3/4(x-3/2)^2+9倍根号3/16
当x=3/2时，S有最小值，最小值是9倍根号3/16

Answer 2

解（1）S＝（4分之3倍根号3）X的平方 － （4分之9倍根号3）X + 4分之9倍根号3
附：解题思路 首先， 过点A作△ABC的高，过点P作△PBQ的高；其次用（SAS）证明△APR ≌ △PBQ ≌ △RQC；最后用△ABC的面积减去3倍△PBQ的面积，得出S关于X的函数关系式。
（2）当X=2分之3时，S有最小值，最小值为 16分之9倍根号3
附：解题思路 利用二次函数的顶点公式求出结果即可。