Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，
（1）求三棱锥P-ABC的体积；
（2）若异面直线AB与ED所成角的大小为θ，求tanθ的值．

Answer 1

解：
1、
∵AC⊥AB
∴∠BAC=90°
∵∠ABC=30°，BC=4
∴AC=BC*sin∠ABC=4*sin30°=2，AB=BC*cos∠ABC=4*cos30°=2根号3
∴△ABC的面积S=AB*AC/2=(2根号3)*2/2=2根号3
∵PA⊥面ABC
∴三棱锥P-ABC的体积V=△ABC的面积S×PA/3=(2根号3)*4/3=(8根号3)/3
∴三棱锥P-ABC的体积为(8根号3)/3

2、过点E作EF//AB，EF交PB于点F，连接DF
∴异面直线AB与ED所成角的大小为θ=∠DEF
∵EF//AB
∴EF：AB=PE：PA
∵点E为PA中点
∴PE/PA=1/2，AE=PA/2=4/2=2
∴EF=AB/2=根号3，点F为PB中点
∵D为BC中点，∠BAC=90°
∴DF//PC，AD=BC/2=4/2=2
∴DF=PC/2

∵PA⊥面ABC
∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥AC
∴DE²=AD²+AE²=2²+2²=8，即DE=2根号2
PC²=PA²+AC²=4²+2²=20，即PC=2根号5
∴DF=PC/2=根号5
∴DE=2根号2，DF=根号5，EF=根号3
∴DE²=DF²+EF²
∴DF⊥EF
∴tan∠DEF=DF/EF=(根号5)/(根号3)=(2根号2)/3
∴tanθ=tan∠DEF=(2根号2)/3

以上回答如能给你帮助，请采纳，谢谢！

追问

算错了哦，

追答

抱歉，最后计算错误
tan∠DEF=DF/EF=(根号5)/(根号3)=(根号15)/3
∴tanθ=tan∠DEF=(根号15)/3

Answer 2

因为 PA⊥面ABC AC⊥AB AP=BC=4 ∠ABC=30°
所以 PA⊥AB PA⊥AC AC⊥面ABP AC=2 AB=2根号3
（把图倒一下，若以面ABP为底面）V=1/3*1/2*AC*AB*AP=1/3*1/2*2*2根号3*4=8/3*根号3

过E做平行线交PB于M，M为PB中点，EM=根号3
连接AD，PA⊥面ABC 所以PA⊥AD
三角形ADE是直角三角形，ED=2根号2
连接DM。DM是PC的中线
三角形PAC是直角三角形 PC=2根号5 DM=根号5
三边都出来了 正弦余弦求一下，比一比就是正切了