Question

如图，已知一次函数y=-4\3X+8的图像与X轴、Y轴分别相交于点A、B，AE平分角BAO，交y轴于点E

1.求点A坐标
2.求直线AE的解析式
3.过点B作BF垂直于AE，垂足为F，联结OF
（1）.求证Of=BF
（2）.求三角形OFB的面积

Answer 1

⑴令Y=0，-4/3X+8=0得：X=6，∴A(6，0)，

(2)过E点作EG垂直于AB于点G，
则:三角形OEA全等三角形GEA，OE=EG
三角形OAB的面积=1/2*OA*OB=1/2*AB*EG+1/2*OA*OE=6*8=10*EG+6EG
所以：OE=3，E（0,3）
设：ae的函数式为y=aX+B
将A（6,0），E（0,3）代入上式
0=6A+B
3=B
A=-1/2
ae的函数式为y=-1/2X+3

（3延长BF交X轴于M，易得ΔAFB≌ΔAFM(公共边、直角、角平分线)，
∴BF=FM，∴OF=1/2BM=BF(直角三角形斜边上中线等于斜边的一半)。

（4）过F作FH垂直OB于点H，
∴ΔOFB中OF=FB，所以FH是ΔOFB中OB的垂直平分线

H（0，4）
则F点坐标为（x，4）代入Y=-1/2x+3得 x=-2，
所以FH=2
SΔOFB=1/2*OB*FH=1/2*8*2=8

Answer 2

⑴令Y=0，-4/3X+8=0得：X=6，∴A(6，0)，
⑵OB=8，OA=6，∴AB=10，
∵AE平分∠BAO，∴OE/BE=OA/AB=6/10=3/5，
∴OE=3，E(0，3)，
∴直线AE解析式：Y=1/2X+3，
⑶∵∠BFA=∠BOA=90°，∴A、B、F、O四点共圆，
∴∠OBF=∠OAF，∠BAF=∠BOF，
∵∠OAF=∠BAF，
∴∠BOF=∠OBF，
∴OF=BF。
②过F作FG⊥Y轴于G，
则OG=1/2OB=4，∴EG=1，
又FG∥X轴，∴EG/FG=OE/OA=1/2
∴FG=2。
∴SΔOFB=1/2OB*FG=8。

追问

初二的方法

追答

⑵过E作EN⊥AB于N，在RTΔOAB中，AB=√(OA^2+OB^2)=10，
∵AE平分∠BAO，∴EN=OE，AN=AO=6，∴BN=4
在RTΔBEN中，BE^2=EN^2+BN^2，(8-OE)^2=OE^2+16，
OE=3，∴E(0，3)，
∴直线AE解析式：Y=1/2X+3，
⑶延长BF交X轴于M，易得ΔAFB≌ΔAFM(公共边、直角、角平分线)，
∴BF=FM，∴OF=1/2BM=BF(直角三角形斜边上中线等于斜边的一半)。
⑷过F作FG⊥Y轴于G，
∵BF=OF，∴BG=OG=1/2OB=4，
由⑶全等得AM=AB=10，∴OM=4，
∴FG=1/2OM=2(三角形中位线)，∴SΔOFB=1/2OB*FG=8。

追问

没教过那个中位线。

追答

那就求RTΔOBM的面积，
∵SΔOFM=SΔOFB=1/2SΔOBM(等底同高)。
由OM=4，OB=8，
∴SΔOBF=1/2SΔOBM=1/2*1/2*4*8=8。