Question

高中导数题：设a>0 函数f(x)=x^2+a|lnx-1|

若x属于【1，+无穷）时，不等式f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

设a>0 函数f(x)=x²+a|lnx-1|，若x∈[1，+∞)时，不等式f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围

解：当1≦x≦e时，lnx-1<0，故此时得f(x)=x²-a(lnx-1)≧a，即a应满足不等式：x²-alnx≥0...........(1)
由于1≦x≦e，故1≦x²≦e²，0≦lnx≦1；故不等式(1)可改写为a≦x²/lnx；在区间(1，e]内x²/lnx是减函数，其最小值是e²，故应取0<a≦e².
当x≧e时，lnx-1≧0。故此时得f(x)=x²+a(lnx-1)≧a，即有x²+alnx-2a≧0..........(2)
设g(x)=x²+alnx-2a，由于a>0，x≧e，故g'(x)=2x+a/x≧0，即g(x)是增函数，为是不等式(2)在指定区间[e，+∞)内恒成立，应取ming(x)=g(e)=e²+a-2a=e²-a≧0，即应取0<a≦e².

综上所述，0<a≦e².就是a的取值范围。

Answer 2

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