Question

已知f（x）=x^3+bx^2+cx+d在(负无穷,0]上是增函数,在[0,2]上是减函数

已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(-无穷，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f(x)=0有三个实根。（1）求证f(1)大于等于2 (2)求|α-β|的取值范围

Answer 1

f(x)在(-无穷,0)上单调增,在[0,2]上单调减, ∴f'(x)=0有一根为0,另一根大于等于2 f'(x)=3x^2+2bx+c, f'(0)=c=0∴f(x)=x^3+bx^2+d, f'(x)=3x^2+2bx=x(3x+2b), 另一根x=-2b/3>=2, ∴b<=-3∵f(2)=8+4b+d=0, ∴d=-4b-8, f(x)=x^3+bx^2-4b-81)f(1)=1+b-4b-8=-7-3b∵b<=-3, ∴-3b-7>=2, 即f(1)>=22)x=2是f(x)=0 的两根,说明f(x)可以分解出因式(x-2)f(x)=x^2+bx^2-4b-8=(x-2)[x^2+(b+2)x+2b+4]=0∴α,β为方程x^2+(b+2)x+2b+4=0两根∴α+β=-b-2, αβ=2b+4∴|α-β|=√[(α+β)^2-4αβ]=√[(-b-2)^2-4(2b+4)]=√(b^2-4b-12)=√[(b-2)^2-16]∵b<=-3, ∴(b-2)^2>=25, (b-2)^2-16>=9∴|α-β|=√[(b-2)^2-16]>=3,即|α-β|的范围为[3,无穷)