在三角形ABC中,角B=120度,三边的长分别为a,b,c,求证:b^2=a^2+c^2+ac
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已知∠B=120°,那么由余弦定理有:
b²=a²+c²-2ac*cosB
=a²+c²-2ac*cos120°
=a²+c²-2ac*(-1/2)
=a²+c²+ac
等式得证。
b²=a²+c²-2ac*cosB
=a²+c²-2ac*cos120°
=a²+c²-2ac*(-1/2)
=a²+c²+ac
等式得证。
追问
谢谢啦,不过有没有只涉及到初二下的勾股定理的方法呢?谢谢~
追答
过A作AD⊥BC,交CB的延长线于点D
则在Rt△ACD中,由勾股定理有:AC²=AD²+CD²
同理在Rt△BCD中有:BC²=BD²+CD²
所以:AC²-BC²=AD²-BD²
即b²-a²=(AD+BD)(AD-BD)=(AB+2BD)*AB=c(c+2BD)
又在Rt△BCD,∠CBD=180°-∠ABC=60°,那么:
∠BCD=90°-∠CBD=30°
所以:2BD=BC=a (直角三角形中30° 角所对直角边是斜边长的一半)
由上知:b²-a²=c(c+2BD)
所以:b²-a²=c(c+a)
即:b²-a²=c²+ac
即:b²=a²+c²+ac
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做CD⊥AC交AC的延长线于D
∵∠ABC=120°
∴∠CBD=60°
∴∠BCD=30°
∴BD=1/2BC=1/2a
∴CD²=BC²-BD²=a²-(1/2a)²=(3/4)a²
∴在Rt△ACD中:AC²=AD²+CD²
即b²=(c+1/2a)²+3/4a²
b²=c²+ac+1/4a²+3/4a²
b²=a²+c²+ac
∵∠ABC=120°
∴∠CBD=60°
∴∠BCD=30°
∴BD=1/2BC=1/2a
∴CD²=BC²-BD²=a²-(1/2a)²=(3/4)a²
∴在Rt△ACD中:AC²=AD²+CD²
即b²=(c+1/2a)²+3/4a²
b²=c²+ac+1/4a²+3/4a²
b²=a²+c²+ac
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b²=a²+c²-2ac*cosB
=a²+c²-2ac*cos120°
=a²+c²-2ac*(-1/2)
=a²+c²+ac
=a²+c²-2ac*cos120°
=a²+c²-2ac*(-1/2)
=a²+c²+ac
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