Question

在三角形ABC中,角B=120度,三边的长分别为a,b,c,求证:b^2=a^2+c^2+ac

Answer 1

已知∠B=120°，那么由余弦定理有：
b²=a²+c²-2ac*cosB
=a²+c²-2ac*cos120°
=a²+c²-2ac*(-1/2)
=a²+c²+ac
等式得证。

追问

谢谢啦，不过有没有只涉及到初二下的勾股定理的方法呢？谢谢~

追答

过A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D
则在Rt△ACD中，由勾股定理有：AC²=AD²+CD²
同理在Rt△BCD中有：BC²=BD²+CD²
所以：AC²-BC²=AD²-BD²
即b²-a²=(AD+BD)(AD-BD)=(AB+2BD)*AB=c(c+2BD)
又在Rt△BCD，∠CBD=180°-∠ABC=60°，那么：
∠BCD=90°-∠CBD=30°
所以：2BD=BC=a (直角三角形中30° 角所对直角边是斜边长的一半)
由上知：b²-a²=c(c+2BD)
所以：b²-a²=c(c+a)
即：b²-a²=c²+ac
即：b²=a²+c²+ac

Answer 2

做CD⊥AC交AC的延长线于D
∵∠ABC=120°
∴∠CBD=60°
∴∠BCD=30°
∴BD=1/2BC=1/2a
∴CD²=BC²-BD²=a²-(1/2a)²=(3/4)a²
∴在Rt△ACD中：AC²=AD²+CD²
即b²=(c+1/2a)²+3/4a²
b²=c²+ac+1/4a²+3/4a²
b²=a²+c²+ac

Answer 3

b²=a²+c²-2ac*cosB
=a²+c²-2ac*cos120°
=a²+c²-2ac*(-1/2)
=a²+c²+ac