Question

已知a b c都属于R，且a+b+c=1，求证：(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)大于等于8

高2

Answer 1

先把每个括号内的分子1换成a+b+c，再使用均值不等式。
(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)
=[(a+b+c)/a-1][(a+b+c)/b-1][(a+b+c)/c-1]
=[(b+c)/a][(a+c)/b][(a+b)/c]
≥[2√(bc)/a]*[2√(ac)/b]*[2√(ab)/c]
=8√(a²b²c²)/abc
=8
∴原式≥8

Answer 2

（1/a-1）(1/b-1)(1/c-1)=(b+c)（a+c）(a+b)/abc=(ab+bc+ac+bc)(a+b)/abc
=(a²b+abc+a²c+ac²+ac²+ab²+b²c+abc+c²b)/abc
=(b+c)/a+(a+c)/b+(a+b)/c+2
=b/a+a/b+c/a+a/c+b/c+c/b+2
由b/a*a/b=1.所以b/a+a/b≥2,同理
c/a+a/c≥2，b/c+c/b≥2
所以（1/a-1）(1/b-1)(1/c-1)≥8

Answer 3

（1/a-1）(1/b-1)(1/c-1)=(b+c)（a+c）(a+b)/abc=(ab+bc+ac+bc)(a+b)/abc
=(a�0�5b+abc+a�0�5c+ac�0�5+ac�0�5+ab�0�5+b�0�5c+abc+c�0�5b)/abc
=(b+c)/a+(a+c)/b+(a+b)/c+2
=b/a+a/b+c/a+a/c+b/c+c/b+2
由b/a*a/b=1.所以b/a+a/b≥2,同理
c/a+a/c≥2，b/c+c/b≥2
所以（1/a-1）(1/b-1)(1/c-1)≥8

Answer 4

题目错了吧，我很简单的举个例就可以推翻它，因为abc都属于R，a+b+c=1，我可以设a=-5,b=-10,c=16那么就有(-1/5-1)（-1/10-1）（1/16-1）= -99/80这就小于0了，题目应该是abc属于R+吧？

Answer 5

因为a+b+c=1 把求的式子里的1 都换成a+b+c 化简 就能得出几个a、b 有关的因式加上8的式子