Question

已知Sn是数列{an}的前n项和,an>0,Sn=(an²+an)/2

已知Sn是数列{an}的前n项和,an>0,Sn=(an²+an)/2
(1)求Sn
（2）若数列{bn}满足b(n+1)=2^an+bn，求bn
哦、漏了、还有b1=2.。。

Answer 1

1.
n=1时，S1=a1=(a1²+a1)/2，整理，得
a1²-a1=0
a1(a1-1)=0
a1=0(与已知不符，舍去)或a1=1
S1=a1=1
n≥2时，
Sn=(an²+an)/2 S(n-1)=[a(n-1)²+a(n-1)]/2
an=Sn-S(n-1)=(an²+an)/2-[a(n-1)²+a(n-1)]/2
整理，得
an²-a(n-1)²-an-a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-1]=0
an>0，an+a(n-1)>0，要等式成立，只有an-a(n-1)-1=0
an-a(n-1)=1，为定值。
数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列。
an=n
Sn=(n²+n)/2
2.
b(n+1)=2^an +bn=2ⁿ+bn
b(n+1)-bn=2ⁿ
bn-b(n-1)=2^(n-1)
b(n-1)-b(n-2)=2^(n-2)
…………
b2-b1=2
累加
bn-b1=2+2²+...+2^(n-1)
题目缺少条件，估计原题有b1=1，那么：
bn=b1+2+2²+...+2^(n-1)=1+2+2²+...+2^(n-1)=1×(2ⁿ-1)/(2-1)=2ⁿ-1

追问

哦、漏了、还有b1=2.。。

追答

嗯，那就对了。
b(n+1)=2^an +bn=2ⁿ+bn
b(n+1)-bn=2ⁿ
bn-b(n-1)=2^(n-1)
b(n-1)-b(n-2)=2^(n-2)
…………
b2-b1=2
累加
bn-b1=2+2²+...+2^(n-1)
bn=b1+2+2²+...+2^(n-1)
=2+2+2²+...+2^(n-1)
=1+2+2²+...+2^(n-1) +1
=1×(2ⁿ-1)/(2-1) +1
=2ⁿ-1 +1
=2ⁿ

Answer 2

（1）an=n
(2)bn=2𠆢n-1