麻烦了,高中导数 已知a∈R, 函数f(x)=(-x^2+ax)e^x(x∈R,e为自然对底数的底数
麻烦了,高中导数已知a∈R,函数f(x)=(-x^2+ax)e^x(x∈R,e为自然对底数的底数)(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间。(2)若函数f(x)在(...
麻烦了,高中导数
已知a∈R,
函数f(x)=(-x^2+ax)e^x(x∈R,e为自然对底数的底数)
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间。
(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求a取值范围。 展开
已知a∈R,
函数f(x)=(-x^2+ax)e^x(x∈R,e为自然对底数的底数)
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间。
(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求a取值范围。 展开
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解:(1)f'(x)=(-x^2+ax)’e^x+(-x^2+ax)(e^x)’
= [-x^2+(a-2)x+a]e^x
当a=2时 f'(x)=(-x^2+2)e^x
令 f'(x)=0 得 x1=√2 x2= -√2
∵ x∈(-∞ ,-√2 ), f'(x)<0 ,f(x)单调递减
x∈(-√2,√2), f'(x)>0, f(x)单调递增
x∈(√2,+∞) f'(x)<0; f(x)单调递减
∴函数f(x)的单调递增区间为 x∈(-√2,√2)
(2)f'(x)=[-x^2+(a-2)x+a]e^x
∵ 函数f(x)在(-1,1)上单调递增
∴ x∈(-1,1) f(x)’≥0 f(x)单调递增
∵e^x>0 ∴ x∈(-1,1)[-x^2+(a-2)x+a]≥0
设g(x)=-x^2+(a-2)x+a ,则
g(-1)≥0 -1-(a-2)+a≥0
g(1)≥0 -1+(a-2)+a≥0
∴a≥3/2
∴a的取值范围[3/2,+∞)
= [-x^2+(a-2)x+a]e^x
当a=2时 f'(x)=(-x^2+2)e^x
令 f'(x)=0 得 x1=√2 x2= -√2
∵ x∈(-∞ ,-√2 ), f'(x)<0 ,f(x)单调递减
x∈(-√2,√2), f'(x)>0, f(x)单调递增
x∈(√2,+∞) f'(x)<0; f(x)单调递减
∴函数f(x)的单调递增区间为 x∈(-√2,√2)
(2)f'(x)=[-x^2+(a-2)x+a]e^x
∵ 函数f(x)在(-1,1)上单调递增
∴ x∈(-1,1) f(x)’≥0 f(x)单调递增
∵e^x>0 ∴ x∈(-1,1)[-x^2+(a-2)x+a]≥0
设g(x)=-x^2+(a-2)x+a ,则
g(-1)≥0 -1-(a-2)+a≥0
g(1)≥0 -1+(a-2)+a≥0
∴a≥3/2
∴a的取值范围[3/2,+∞)
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(1)f'(x)=(-2x+2)e^x+(-x²+2x)e^x
=(-2x²+2)e^x
=-2(x-1)(x+1)e^x
令f'(x)≥0,那么(x-1)(x+1)≤0
所以-1≤x≤1,即f(x)的单调递增区间为[-1,1]
(2)f'(x)=(-2x+a)e^x+(-x²+ax)e^x
=[-2x²+(a-2)x+a]e^x
因为e^x>0,所以令g(x)=-2x²+(a-2)x+a≥0在(-1,1)上恒成立
即g(-1)≥0且g(1)≥0
所以a≥2
(数可能算的不对)
=(-2x²+2)e^x
=-2(x-1)(x+1)e^x
令f'(x)≥0,那么(x-1)(x+1)≤0
所以-1≤x≤1,即f(x)的单调递增区间为[-1,1]
(2)f'(x)=(-2x+a)e^x+(-x²+ax)e^x
=[-2x²+(a-2)x+a]e^x
因为e^x>0,所以令g(x)=-2x²+(a-2)x+a≥0在(-1,1)上恒成立
即g(-1)≥0且g(1)≥0
所以a≥2
(数可能算的不对)
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