Question

麻烦了，高中导数 已知a∈R, 函数f(x)=(-x^2+ax)e^x(x∈R,e为自然对底数的底数

麻烦了，高中导数
已知a∈R,
函数f(x)=(-x^2+ax)e^x(x∈R,e为自然对底数的底数)
(1)当a=2时，求函数f(x)的单调递增区间。
(2)若函数f(x)在(-1，1)上单调递增，求a取值范围。

Answer 1

Answer 2

解：(1)f'（x）=(-x^2+ax)’e^x+(-x^2+ax)(e^x)’
　　= [-x^2+(a-2)x+a]e^x

　　当a=2时 f'（x）=（-x^2+2）e^x

　　令 f'（x）=0 得 x1=√2 x2= -√2

　　∵ x∈(-∞ ,-√2 ), f'（x）<0 ,f（x）单调递减
　　 x∈(-√2,√2), f'（x）>0, f（x）单调递增

　　 x∈(√2,+∞) f'（x）<0; f（x）单调递减

　　∴函数f(x)的单调递增区间为 x∈(-√2,√2)

　　（2）f'（x）=[-x^2+(a-2)x+a]e^x

　　∵ 函数f(x)在（-1,1）上单调递增

　　∴ x∈（-1,1） f（x）’≥0 f（x）单调递增

　　∵e^x>0 ∴ x∈（-1,1）[-x^2+(a-2)x+a]≥0
设g(x)=-x^2+(a-2)x+a ,则
　　 g(-1)≥0 -1-（a-2）+a≥0
　　 g(1)≥0 -1+（a-2）+a≥0
　　∴a≥3/2

　　∴a的取值范围[3/2,+∞)

Answer 3

(1)f'(x)=(-2x+2)e^x+(-x²+2x)e^x
=(-2x²+2)e^x
=-2(x-1)(x+1)e^x
令f'(x)≥0，那么(x-1)(x+1)≤0
所以-1≤x≤1，即f(x)的单调递增区间为[-1,1]
(2)f'(x)=(-2x+a)e^x+(-x²+ax)e^x
=[-2x²+(a-2)x+a]e^x
因为e^x＞0，所以令g(x)=-2x²+(a-2)x+a≥0在(-1,1)上恒成立
即g(-1)≥0且g(1)≥0
所以a≥2
(数可能算的不对)