Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E．（1）求证：△ADC为等边

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E．（1）求证：△ADC为等边三角形；（2）若BD=4cm，BE=23cm，求△ABC的周长．

Answer 1

（1）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=90°-∠B=90°-30°=60°，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴∠DCB=∠B=30°，
∴∠ACD=90°-∠DCB=90°-30°=60°，
∴∠ACD=∠A，
∴AD=CD，即△ADC为等边三角形；

（2）∵DE是BC的垂直平分线，BD=4cm，BE=2

3

cm，
∴BC=2BE=2×2

3

=4

3

cm，CD=BD=4cm，
∵AD=CD，
∴AD=CD=BD=4cm，
∴AB=2BD=2×4=8cm，
∵△ABC是直角三角形，∠B=30°，
∴AC=

1

2

AB=

1

2

×8=4cm，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=8+4+4

3

=（12+4

3

）cm．