Question

求解初三数学有关圆的几何题：如图，已知P是直径AB上的一点，EF、CD是过点P的两条弦，∠CPB=∠EPB，试说明

如图，已知P是直径AB上的一点，EF、CD是过点P的两条弦，∠CPB=∠EPB，试说明：（1）弦CD与EF相等吗（图中蓝色线段）？为什么？（2）弧DE与弧CF相等吗？为什么？

要怎么解，请高手们详解，给高分！！！

Answer 1

⑴弦CD＝弦EF，理由如下：
过点O作OM⊥EF于点M，作ON⊥CD于点N，连接OE、OC
∵∠CPB＝∠EPB
∴OM＝ON(角平分线上的点到角两边的距离相等)
∵OE＝OC
∴Rt△OEM≌Rt△OCN
∴EM＝CN
∵OM⊥EF，ON⊥CD
∴EF＝2EM，CD＝2CN(垂径定理)
∴EF＝CD

⑵弧DE与弧CF相等，理由如下：
由⑴知EF＝CD
∴弧EF＝弧CD
∴弧EF－弧DF＝弧CD－弧DF
∴弧DE＝弧CF

在圆的问题中，注意垂径定理的应用，同时，同圆或等圆中，弦的相等往往转化成弦所对的弧相等或转化成弦所对的圆心角相等。

Answer 2

学过对称没 根据对称性 全都出来了 都是相等的

追问

是什么的对称性啊？？？

追答

那 学过正玄定理没 连接OE OC 得到OE=OC 那么OP/sinC=OC/sinCPB=OE/sinEPB= OP/sinE 所以 ∠E=∠C 即可证明 三角形OPC≌三角形OPE（AAS） 所以PC=PE 同理 PD=PF
即 CD=EF
第二问：连接OD OC 同理 得出∠DOA=∠FOA 那么由一问知道∠EOA=∠COA 所以 ∠EOD=∠COF 所以 弧DE与弧CF相等
还有不清楚的没 ？