Question

已知任意实数x，y满足3x2+4xy<=a(x2+y2)恒成立，则实数a的最小值

急

Answer 1

因x、y都不为0，则：
3x²＋4xy≤λ(x²＋y²)，得：
λ≥(3x²＋4xy)/(x²＋y²)
设：t=x/y，且M=(3x²＋4xy)/(x²＋y²)
【分子分母同除以y²】
则：
M=(3t²＋4t)/(1＋t²)
=[(3t²＋3)＋(4t－3)]/(1＋t²)
=3＋(4t－3)/(1＋t²)
因λ只要大于等于M的最大值即可，则只需求出(4t－3)/(1＋t²)的最大值即可。
W=(4t－3)/(1＋t²)
【设：4t－3=n，则：t=(1/4)(n＋3)】
=n/[1＋(1/16)(n＋3)²]
=(16n)/(n²＋6n＋25)
【分子分母同除以n】
=16/[(n)＋(25/n)＋6]
则对于n＋(25/n)利用基本不等式，得：n＋(25/n)≥10
则：W的最大值是16/[6＋10]=1
则：λ≥4
即λ的最小值是4

Answer 2

移项得a>=(3x＾2+4xy)/(x＾2+y＾2)，右边分式分子分母同除x＾2，令y/x=b,并设f(x)=(3+4b)/(1+b＾2)所以原题变成求f(x)的最大值。
对f(x)求导后，令其等于0,得b=0.5或-2,这样的话f(x)便没有最大值，不知是否题目有错.